1. 射线

1.1 定义

数学定义：
射线是直线的“一半”，有一个起点并向一个方向无限延伸。
计算几何中的定义：
射线是一个有向线段。

射线有起点和终点。
一个射线定义了一个位置，一个 有限长度 和一个方向。（除非射线长度为零）
任何射线都定义了包含这个射线的一条直线和线段。

1.2 两点表示法

使用两个端点，起点 $P_{org}$ 和终点 $P_{end}$

1.3 射线的参数形式

\begin{cases} x(t) = x_0 + t\Delta x \\ y(t) = y_0 + t\Delta y \\ z(t) = z_0 + t\Delta z \end{cases}

使用向量表示：

\vec{p}(t) = \vec{p_0} + t \vec{d}

其中单位向量 $\vec{d}$ 表示射线方向，设射线的长度为 $l$ ，参数 $t \in [0,l]$ ，那么射线的终点则为：

\vec{p}(l) = \vec{p_0} + l \vec{d}

1.4 2D直线表示法

该表示法仅适用于二维空间

直线公式：

\begin{cases} ax + by = d \\ \vec{p} \cdot \vec{n} = dis \end{cases}

令指向点 $P_i$ 的向量为 $\vec{p_i}$ ，向量 $\vec{p_i}$ 在沿着方向 $\vec{n}$ 的投影的长度为 $dis$ ，该直线 $L$ 即为所有满足该表达式的点 $P_i$ 的集合；
过原点 $O$ 向直线 $L$ 做一条垂线，可知该垂线过点 $M(a,b)$ 。

NOTE：图中点 $M(a,b)$ 在直线 $L$ 上，即有 $\left \Vert {\overrightarrow{OM}} \right \Vert = dis = \sqrt {a^2 + b^2}$ ，但是一般情况下点 $M(a,b)$ 不一定在直线 $L$ 上。

$\vec{n}$ 是垂直于直线的单位向量， $dis$ 给出了原点到直线的 有符号距离 ，这个距离是在垂直于直线的方向（平行于 $\vec{n}$ ）上度量的

有符号距离：如果直线与标准向量 $\vec{n}$ 代表的点在原点的同一侧，则 $dis$ 为正；当 $dis$ 增大时，直线会沿着方向 $\vec{n}$ 平移

1.4.1 点到直线的距离

点 $p(x_0,y_0)$ 到直线 $L$ 的距离为：

dis(p,L) = \cfrac{\vert {ax_0 + by_0 - d} \vert}{\sqrt {a^2 + b^2}}

1.4.2 不同表示方法的转换

\begin{cases} ax + by = d \\ \vec{p} \cdot \vec{n} = dis \end{cases}

其中有以下关系：

\begin{cases} \vec{n} = \cfrac{(a,b)}{\sqrt {a^2 + b^2}} = (\cfrac{a}{\sqrt {a^2 + b^2}},\cfrac{b}{\sqrt {a^2 + b^2}}) \\[2ex] dis = \cfrac{d}{\sqrt {a^2 + b^2}} \end{cases}

同时，

\begin{cases} a = \\[2ex] b = \\[2ex] d = \end{cases}

2. 示例代码

2.1 成员变量

// 起点向量
Vector3 start;

// 使用一个单位向量表示射线的方向
Vector3 dir;

// 射线的长度
float len;

// 射线参数，从 0 到 1
float t;

2.2 构造函数

// 构造函数
Ray3::Ray3()
{
	st = Vector3(0, 0, 0);
	dir = Vector3(0, 0, 0);
	len = 0;
	t = 1;
}

Ray3::Ray3(const Vector3& inSt, const Vector3& inDir)
{
	st = Vector3(inSt.x, inSt.y, inSt.z);
	dir = Vector3(inDir.x, inDir.y, inDir.z);
	dir.normalize();
	len = vectorMag(dir);
	t = 1;
}

Ray3::Ray3(const Vector3& inSt, const Vector3& inDir, float inLen)
{
	st = Vector3(inSt.x, inSt.y, inSt.z);
	dir = Vector3(inDir.x, inDir.y, inDir.z);
	dir.normalize();
	this->len = inLen;
	t = 1;
}

镜之国的爱丽丝

04 - 三维射线类