05 - 平面类

1. 定义

1.1 平面定义 —— 隐式定义

• 可以用类似于定义 2D 直线的方法来定义平面。
• 平面的隐式定义由所有满足平面方程的点 $\vec{p} = (x,y,z)$ 给出

平面方程的两种表示法：

$\begin{cases} ax + by + cz = d \\ \vec{p} \cdot \vec{n} = dis \end{cases}$

其中有以下关系：

$\begin{cases} \vec{n} = \cfrac{(a,b,c)}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} = (\cfrac{a}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}},\cfrac{b}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}},\cfrac{c}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}) \\[2ex] dis = \cfrac{d}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} \end{cases}$

• 向量 $\vec{n}$ 即为平面的法向量，垂直于整个平面

同时，

$\begin{cases} a = \\[2ex] b = \\[2ex] c = \\[2ex] d = \end{cases}$

1.2 平面定义 —— 三点定面

• 通过平面上的三个点 $p_1$ ， $p_2$ 和 $p_3$ 来计算 $\vec{n}$ 和 $dis$ ；
• 右手坐标系下，当从平面正面看时，三个点 $p_1$ ， $p_2$ 和 $p_3$ 逆时针列出。

<1> 求向量 $\vec{n}$ ：

$\begin{cases} \vec{e_3} = \vec{p_2} - \vec{p_1} \\[2ex] \vec{e_1} = \vec{p_3} - \vec{p_2} \end{cases} \Rightarrow \vec{n} = \cfrac{\vec{e_3} \times \vec{e_1}}{\Vert \vec{e_3} \times \vec{e_1} \Vert}$

<2> 求 $dis$ ：

$dis = \vec{p_1} \cdot \vec{n} = \vec{p_2} \cdot \vec{n} = \vec{p_3} \cdot \vec{n}$

1.3 多于三个点的“最佳”平面

从一组三个以上的点集出平面方程，这种点集最常见的例子就是多边形的顶点，这些顶点绕多边形 逆时针 列出。

• 会遇到的问题
  1. 多边形是凹的，这些点恰好在凹处，从而构成了顺时针，导致法向量方向错误；
  2. 可能由于浮点数精确问题或者错误的生成多边形的方法，使得多边形的顶点可能会出现不共面的情况。

因此需要从点集中求出“最佳”，该平面应综合考虑所有的点：

$\begin{aligned} &\vec{p_1} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \\ &\vec{p_1} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \\ &\vdots \\ &\vec{p_1} = \begin{bmatrix} x_{n-1} & y_{n-1} & z_{n-1} \end{bmatrix} \\ &\vec{p_1} = \begin{bmatrix} x_n & y_n & z_n \end{bmatrix} \end{aligned}$

1.3.1 最佳平面的法向量 $\vec{n}$ ：

$\begin{aligned} &\vec{n_x} = (z_1 + z_2)(y_1 - y_2) + (z_2 + z_3)(y_2 - y_3) + \cdots + (z_{n-1} + z_n)(y_{n-1} - y_n) + (z_n + z_1)(y_n - y_1) \\ &\vec{n_y} = (x_1 + x_2)(z_1 - z_2) + (x_2 + x_3)(z_2 - z_3) + \cdots + (x_{n-1} + x_n)(z_{n-1} - z_n) + (x_n + x_1)(z_n - z_1) \\ &\vec{n_z} = (y_1 + y_2)(x_1 - x_2) + (y_2 + y_3)(x_2 - x_3) + \cdots + (y_{n-1} + y_n)(x_{n-1} - x_n) + (y_n + y_1)(x_n - x_1) \end{aligned}$

若设 $\vec{p_{n+1}} = \vec{p_1}$ ，使用求和符号，则有：

$\begin{aligned} &\vec{n_x} = \sum_{i = 1}^{n}(z_i + z_{i+1})(y_i - y_{i+1}) \\ &\vec{n_y} = \sum_{i = 1}^{n}(x_i + x_{i+1})(z_i - z_{i+1}) \\ &\vec{n_z} = \sum_{i = 1}^{n}(y_i + y_{i+1})(x_i - x_{i+1}) \end{aligned}$

若需要限制 $\vec{n}$ 必须为单位向量，则该向量必须正则化。

1.3.2 最佳平面的距离 $dis$ ：

$\begin{aligned} dis &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\vec{p_i} \cdot \vec{n}) \\[4ex] &= \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^{n} \vec{p_i} \right) \cdot \vec{n} \end{aligned}$

1.3.2 计算点集的最佳平面：

• 计算法向量 $\vec{n}$：

Vector3 computeBestFitNormal (const Vector3 v[], int n)
{
    // 和置零
    Vector3 result = kZeroVector;

    // 从最后一个顶点开始，避免在循环中做 if 判断
    const Vector3 *p = &v[n-1];

    // 迭代所有顶点
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        // 得到“当前”顶点
        const Vector3 *c = &v[i];

        // 边向量乘积相加
        result.x += (p->z + c->z) * (p->y - c->y);
        result.y += (p->x + c->x) * (p->z - c->z);
        result.z += (p->y + c->y) * (p->x - c->x);

        // 下一个顶点
        p = c;
    }

    // 正则化结果并返回
    result.normalize();
    return result;
}

• 计算平均距离 $dis$ ；

float computeBestDis (const Vector3 v[], int n, const Vector3& normalVec)
{
    // 和置零
    float disRes = 0;
    Vector3 sumVec = kZeroVector;

    // 从最后一个顶点开始，避免在循环中做 if 判断
    const Vector3 *p = &v[n-1];

    // 迭代所有顶点
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        // 相加
        sumVec += *p;
    }

    disRes = (sumVec * normalVec) / n;
    return disRes;
}

1.4 点到平面的距离

1.4.1 函数式 $ax + by + cz = d$

点 $q(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $P$ 的距离为：

$dis(q,P) = \cfrac{\vert {ax_0 + by_0 + cz_0 - d} \vert}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}$

float computetDis (float a, float b, float c, float d, const Vector3& q)
{
    float disRes = fabs(a * q.x + b * q.y + c * q.z - d) / sqrt(a*a + b*b + c*c);

    return disRes;
}

1.4.2 点和法向量表达式 $\vec{p} \cdot \vec{n} = dis$

设想一个平面和一个不在平面上的点 $\vec{q}$ 。平面上存在一个点 $\vec{p}$ ，它到 $\vec{q}$ 的距离最短。显然，从 $\vec{p}$ 到 $\vec{q}$ 的向量垂直于平面，且形式为 $a \cdot \vec{n}$ 。

$\begin{aligned} \vec{p} + a \cdot \vec{n} &= \vec{q} \\ (\vec{p} + a \cdot \vec{n}) \cdot \vec{n} &= \vec{q} \cdot \vec{n} \\ \vec{p} \cdot \vec{n} + a \cdot \vec{n} \cdot \vec{n} &= \vec{q} \cdot \vec{n} \\ dis + a &= \vec{q} \cdot \vec{n} \\ a &= \vec{q} \cdot \vec{n} - dis \end{aligned}$

计算任意点到平面的有符号距离

float computetDis (float dis, const Vector3& normalVec, const Vector3& q)
{
    float disRes = q * normalVec - dis;

    return disRes;
}