03 - 在 3D 中两条射线的相交性检测

在 3D 中两条射线的相交性检测

令 3D 中两条以参数形式定义的射线：

$\begin{cases} \bold{r_1}(t_1) = \bold{p_1} + t_1 \bold{d_1} \\[1.5ex] \bold{r_2}(t_2) = \bold{p_2} + t_2 \bold{d_2} \end{cases}$

暂时不考虑 $t_1$ ， $t_2$ 的取值范围，即考虑的是无限长的射线；
并且其中向量 $d_1$ ， $d_2$ 不必是单位向量。

若这两条射线在一个平面中，则跟 2D 中的直线相交的情况相同：

• 两条射线交于一点；
• 两条射线平行，没有交点；
• 两条射线重合，有无限多交点。

在三维空间中，存在第四种可能性：

• 两条射线不在一个平面中

推导过程：

$\begin{aligned} \bold{r_1}(t_1) &= \bold{r_2}(t_2) \\[1.5ex] \bold{p_1} + t_1 \bold{d_1} &= \bold{p_2} + t_2 \bold{d_2} \\[1.5ex] t_1 \bold{d_1} &= \bold{p_2} + t_2 \bold{d_2} - \bold{p_1} \\[1.5ex] (t_1 \bold{d_1}) \times \bold{d_2} &= (\bold{p_2} + t_2 \bold{d_2} - \bold{p_1}) \times \bold{d_2} \\[1.5ex] t_1 (\bold{d_1} \times \bold{d_2}) &= (t_2 \bold{d_2}) \times \bold{d_2} + (\bold{p_2} - \bold{p_1}) \times \bold{d_2} \\[1.5ex] t_1 (\bold{d_1} \times \bold{d_2}) &= t_2 \cdot \bold{0} + (\bold{p_2} - \bold{p_1}) \times \bold{d_2} \\[1.5ex] t_1 (\bold{d_1} \times \bold{d_2}) &= (\bold{p_2} - \bold{p_1}) \times \bold{d_2} \\[1.5ex] t_1 (\bold{d_1} \times \bold{d_2}) \cdot (\bold{d_1} \times \bold{d_2}) &= ((\bold{p_2} - \bold{p_1}) \times \bold{d_2}) \cdot (\bold{d_1} \times \bold{d_2}) \end{aligned}$

可得：

$t_1 = \cfrac{((\bold{p_2} - \bold{p_1}) \times \bold{d_2}) \cdot (\bold{d_1} \times \bold{d_2})}{\Vert {\bold{d_1} \times \bold{d_2}} \Vert^2}$

同理：

$t_2 = \cfrac{((\bold{p_2} - \bold{p_1}) \times \bold{d_1}) \cdot (\bold{d_1} \times \bold{d_2})}{\Vert {\bold{d_1} \times \bold{d_2}} \Vert^2}$

NOTE ：

• $\bold{d_1} \times \bold{d_2} = 0$ ：两条射线平行或者重合，即上式的分母为零。
   
• 若两条射线在一个平面内，那么 $\bold{r_1}(t_1)$ 和 $\bold{r_2}(t_2)$ 是相距最近的点。
  • 通过检查 $\bold{r_1}(t_1)$ 和 $\bold{r_2}(t_2)$ 间的距离即可确定两条射线相交的情况。
  • 当其两点重合时便代表相交。
  • 由于浮点数的精度问题，实际中往往需要用一个偏差值。
     
• 上面的讨论假设没有限定 $t_1$ ， $t_2$ 的取值范围，如果射线的长度有限（或者只沿一个方向延伸），在计算出 $t_1$ ， $t_2$ 后还应作适当的边界检测。