03 - 基础矩阵变换

1. 二维线性变换

对向量 $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ 进行线性变换

$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}x + a_{12}y \\ a_{21}x + a_{22}y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}$

1.1 缩放（Scaling）

缩放变换是一种沿着 坐标轴作用 的变换

$scale(s_x,s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}$

除了 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 保持不变，其他所有点变为 $\begin{bmatrix} s_x x \\ s_y y \end{bmatrix}$

第一种情况：x 方向和 y 方向均缩小0.5倍

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

第二种情况：x 方向缩小 0.5 倍， y 方向不变

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

1.2 反射（Reflection）

进行一个镜像的变换

$\begin{aligned} &x' = -x \\ &y' = y \end{aligned}$

沿着 y 轴进行翻转操作

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

1.3 切变（Shearing）

把物体的其中一边固定，然后拉动对应的另外一边

$\begin{aligned} shear-x(s) = \begin{bmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\[3ex] shear-y(s) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ s & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$

沿着 x 轴方向拉动 a 距离

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

NOTE :

• 水平方向：$x' = x + ay$
  • y = 0 的部分不变化
  • y = 1 的部分右移 a 距离
     
• 竖直方向：$y' = y$
  • 不变化

1.4 旋转

默认规定：

• 绕原点 $(0,0)$ 进行旋转；
• 旋转方向为逆时针。

记为；

$rotate(\phi) = \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}$

可知：

$\begin{cases} x' = x\cos\phi - y\sin\phi \\[1.5ex] y' = y\cos\phi + x\sin\phi \end{cases}$

即：

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{array}{c:c} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{array} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

绕原点逆时针旋转 45°

$\begin{bmatrix} \cfrac{\sqrt{2}}{2} & -\cfrac{\sqrt{2}}{2} \\[3ex] \cfrac{\sqrt{2}}{2} & \cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

1.5 位移

$\begin{cases} x' = x + t_x \\ y' = y + t_y \end{cases}$

但是当存在位移变换时，便无法仅靠一个二维矩阵的变换来进行表示：

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}$

1.5.1 齐次坐标

增加一个维度，提供更多的信息，将二维向量区分为“点”和“位移向量”：

• $2D-point = (x,y,1)^T$
• $2D-vector = (x,y,0)^T$

使用的 1 和 0 是有实际意义的：

• vector + vector = vector（三角形法则：向量的叠加）
• point - point = vector（生成从第二个点指向第一个点的向量）
• point + vector = point（点进行位移）
• point + point = 这2个点的中点

可以通过三维空间中的一个点集去表示二维空间中的一个点

• 这个点集即是“视点”出发，穿过二维空间中“可视平面”上的该点的射线
• 射线点集 $\begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix}$ 表示“可视平面”上的点 $\begin{bmatrix} x/w \\ y/w \\ 1 \end{bmatrix}$ ，$w \ne 0$

此时可以使用矩阵变换去表示一个位移变换

• 当“点”进行位移时，会发生相应的变化：

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ w' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix}$

• 当“位移向量”进行位移时，不会发生变化：

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ w' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix}$

1.5.2 仿射变换

“线性变换” + “位移变换”

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}$

使用齐次坐标表示仿射变换：

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

NOTE：

• 仅在仿射变换下最后一排是 $(0,0,1)$

1.6 变换的组合

• 一个复杂变换可以拆分成若干个基础变换
• 变换顺序需要注意 —— 矩阵的乘法不满足交换律

$R_{45} \cdot T_{(1,0)} \ne T_{(1,0)} \cdot R_{45}$

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = R_{45} \cdot T_{(1,0)} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = T_{(1,0)} \cdot R_{45} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

组合应用若干变换 $A_1,A_2,A_3,\dots$

$A_n(\dots A_2(A_1(x))) = A_n \dots A_2 \cdot A_1 \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

NOTE ：
矩阵有结合律，可以用一个矩阵表示这一系列的复合变换

2. 三维线性变换

2.1 仿射变换

• $3D-point = (x,y,z,1)^T$

• $3D-vector = (x,y,z,0)^T$

• 射线点集 $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}$ 表示“可视三维平面”上的点 $\begin{bmatrix} x/w \\ y/w \\ z/w \\ 1 \end{bmatrix}$ ，$w \neq 0$

使用四维矩阵表示三维空间中的仿射变换

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$

2.2 缩放变换

$Scale(s_x,s_y,s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.3 位移变换

$T(t_x,t_y,t_z) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.4 旋转变换

$R_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\alpha} & - \sin{\alpha} & 0 \\ 0 & \sin{\alpha} & \cos{\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$R_y(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & 0 & \sin{\alpha} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \sin{\alpha} & 0 & \cos{\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$R_z(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & - \sin{\alpha} & 0 & 0 \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.4.1 欧拉角

$R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma) = R_{x}(\alpha)R_{y}(\beta)R_{z}(\gamma)$

• 使用三个角：$roll$ , $pitch$ , $yaw$

2.4.2 罗德里格斯（Rodrigues）旋转方程

绕着某个过原点的轴 $\bold{n}$ 旋转 $\alpha$ 角度 ：

$\bold{R}(\bold{n},\alpha) = \cos(\alpha)\bold{I} + (1 - \cos(\alpha))\bold{n}\bold{n}^T + \sin(\alpha) \begin{pmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{pmatrix}$

式中的矩阵形式类似叉乘矩阵