06 - 球和圆

1. 定义

球 ：定义为到给定点的距离为给定长度的所有点的集合，球面上某点到球心的距离称作球的 半径 。
球的直接表示形式能描述出球心 $\vec{c}$ 和半径 $r$

1.1 向量记法的球的隐式表示

由球的定义可以直接导出它的隐式表示形式：到球心的距离为给定距离的点的集合。

球心为 $\vec{c}$ ，半径为 $r$ 的球的隐式表示形式为：

$\Vert {\vec{p} - \vec{c}} = r \Vert$

NOTE ：

• $\vec{p}$ 是球表面上的任意一点，若需要包括球内部的点，就必须将等号换为 “ $\leqslant$ ” ；
• 该式也可以表示二维空间的圆

1.2 球的隐式定义

可以将上式在 3D 笛卡尔坐标系中进行展开：

$(x - c_x)^2 + (y - c_y)^2 + (z - c_z)^2 = r^2$

2. 属性

2.1 圆的直径和周长

直径 ：经过圆心的直线与圆有两个交点，这两个交点的距离称作直径

$R = 2r$

周长 ：绕圆一周的长度即为周长

$C = 2 \pi r = \pi R$

2.2 圆的面积

$A = \pi r^2$

2.3 球的表面积和体积

表面积 ：

$S = 4 \pi r^2$

体积 ：

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$